jueves, 21 de mayo de 2009

“ TEORIA DE LA ESTIMACION ESTADÍSTICA “

La teoría de muestreo puede emplearse para obtener información acerca de muestras obtenidas aleatoriamente de una población conocida. Sin embargo, desde un punto de vista practico, suele ser mas importante y ser capaz de inferir información acerca de una población a partir de muestras de ellas. Dichos problemas son tratados por la inferencia estadística que utiliza principios de muestreo. Un problema importante de la inferencia estadística es la estimación de parámetros poblacionales o simplemente parámetros ( como la media y la varianza poblacionales ), a partir de los estadísticos muéstrales correspondientes o estadísticos ( como la media y la varianza muestral.
Estimados sin Sesgo
Si la media de la distribución muestral de un estadístico es igual al parámetro poblacional correspondiente, el estadístico se denomina estimador sin sesgo del parámetro; de otra manera, es denominado estimador sesgado. Los valores correspondientes de dichos estadísticos se llaman estimados sin sesgo o sesgados, respectivamente.
1.- La media de la distribución muestral de las medias  es x , la media poblacional. Por lo tanto, la media muestral x es un estimado sin sesgo de la media poblacional .
2.- La media de la distribución muestral de las varianzas es :
s2 = ( N-1/ N ) 2
donde 2 es la varianza poblacional y N es el tamaño de la muestra .Entonces, la varianza muestral s2 es un estimado sesgado de la varianza poblacional 2. Usando la varianza modificada.
2 =( N/ N-1 )s2
Se encuentra que 2 = 2 , de modo que 2 es un estimado sin sesgo de 2 .Sin embargo  es un estimado de .En términos de esperanza matemática se podía decir que un estadístico no esta sesgado si su esperanza es igual al parámetro poblacional correspondiente. Por lo tanto, x y 2 no están sesgados , porque E
Estimados Eficientes
Si las distribuciones muéstrales de dos estadísticos tienen la misma media o esperanza matemática entonces el estadístico con la menor varianza se denomina estimador eficiente de la media , mientras que el otro estadístico se le llama estimador ineficiente. Los valores correspondientes de los estadísticos se conocen, respectivamente , como estimadores eficientes. Si se consideran todos los estadísticos posibles, cuyas distribuciones muéstrales tienen la misma media, aquel con la menor varianza suele denominarse el mejor o mas eficiente estimador de dicha media.
La distribución muestral de la media y la mediana tienen la misma media; a saber la media poblacional. Sin embargo, la varianza de la distribución muestral de las medias es mas pequeña que la varianza de la distribución muestral de las medianas . por lo tanto, la media muestral ofrece un estimado ineficiente de esta De todos los estadísticos que estiman la media poblacional, la media muestral ofrece el mejor o mas eficiente estimado. En la practica , suelen usarse los estimados ineficientes debido a la relativa facilidad con que se obtienen algunos de ellos.
Estimados por Punto y Estimados por Intervalo; su Confiabilidad
El estimado de un parámetro poblacional dado por un solo numero se denomina estimado puntual del parámetro. El estimado de un parámetro poblacional dado por dos números , entre los cuales se considera esta el parámetro, se denomina estimado por intervalo del parámetro. Los estimados por intervalo indican la precisión de un estimado y son, por lo tanto preferibles a los estimados por punto.
Ejemplo: Si se dice que una distancia medida es de 5.28 metros se esta dando un estimado por punto. Si por otro lado, la distancia es de 5.28 mas menos 0.03metros ( es decir , la distancia esta entre 5.25m y 5.31 m ) , se esta dando un estimado por intervalo .
La información sobre el error o precisión de un estimado se conoce como confiabilidad.
Estimados por Intervalo de Confianza de Parámetros Poblacionales
Sean s y s la media y la desviación estándar ( error estándar ), en ese orden, de la distribución muestral de un estadístico S. Entonces, si la distribución muestral de S es en formas aproximadas a la normal ( lo cual es verdadero para muchos estadísticos si el tamaño de la muestra es N mayor o menor que 30.
Intervalos de Confianza para Medias
Si el estadístico S es la media muestral x , entonces los limites de confianza de 95% y 99% para estimar la media poblacional  están dados por x mas menos 1.96 x y 2.50x respectivamente. De manera mas general , los limites de confianza están dados por x ± zc x donde zc que depende del nivel particular de confianza deseado , usando los valores de x obtenidos se ve que los limites de confianza para la media poblacional están dados por :
X ± Zc /
si el muestreo se lleva a cabo a partir de una población infinita o de una población finita con reemplazamiento y están dados por :
X ± Zc /
si el muestreo se realizo sin reempalzamiento de una población de tamaño finito Np . generalmente , la desviación estándar poblacional  es desconocida ; por consiguiente , para obtener los limites de confianza anteriores, se utiliza la estimación muestral  o s .Esta mostrara ser satisfactoria cuando N­ se mayor o menor que 30 para N menor que 30 , la aproximación es pobre y se debe usar la teoría de pequeñas muestras .
Intervalos de Confianza para Proporciones
Si el estadístico S es la proporción de “éxitos “ en una muestra de tamaño , obtenida de una población binomial en la que p es la proporción de éxitos es decir la probabilidad de éxito, entonces los limites de confianza para p están dados por la proporción de éxitos en la muestra de tamaño N. Usando los valores de p obtenidos, ve que los limites de confianza para la proporción poblacional están dados por :
P ± Zc
Si el muestreo se efectuó de una población finita o de una población infinita con reemplazamiento y están dados por :
P± Zc
Si el muestreo se hizo sin el reemplazamiento de una población de tamaño finito Np. Para calcular estos limites de confianza se puede usar el estimado muestral P que por lo general , mostrara ser satisfactorio si N es mayor o igual a 30.
Intervalos de Confianza para Diferencias y Sumas
Si S1 y S2 son dos estadísticos muéstrales con distribuciones de muestreo aproximadamente normales, entonces los limites de confianza se puede usar para la diferencia de los parámetros poblacionales correspondientes a S1 y S2 están dados por :
S1 y S2 ± zc s1 - s2
Intervalos de Confianza para Desviaciones Estándar
Los limites de confianza para la desviación estándar  de una población normalmente distribuida, estimados a partir de una muestra con desviación estándar s, están dados por :
S + - Zc s = s ± Zc /
Para calcular estos limites de confianza se utiliza s o  para estimar 
Error Probable
Los limites de confianza de 50% de los parámetros poblacionales correspondientes al estadístico S dados por S + - 0.675 s la cantidad de 0.675 s es conocida como error probable de la estimación.
“ Problemas Resueltos “
Estimados sin Sesgo y eficientes
1.- De un ejemplo de estimadores y estimados que sean a).- sin sesgo y eficientes , b).- sin sesgo e ineficientes y c).- sesgados e ineficientes
Solución
a).- La media maestral x y la varianza maestral modificada
2 =( N/ N-1 ) s2
b).- La media muestral y el estadístico muestral ½ (Q1 + Q3) donde Q1 y Q3 son los cuartiles inferior y superior , son dos de dichos ejemplos. Ambos estadísticos son estimados sin sesgo de la media poblacional, ya que la media de sus distribuciones muéstrales es la media poblacional.
c).- La desviación estándar muestral s , la desviación estándar modificada , la desviación media y el rango semiintercuartilar son cuatro de dichos ejemplos
2.- En una muestra de cinco mediciones , los registros de un científico para el diámetro de una esfera fueron 6.33, 6.37, 6.32, 6.37 centímetros. Determine estimados sin sesgo y eficientes de a) la media verdadera y b) la varianza verdadera.
Solución
a).- el estimado sin sesgo y eficiente de la media verdadera , es decir , la media poblacional es :
x = x / N = 6.33 + 6.37 + 6.36 +6.32 + 6.37 / 5 = 6.35 cm
b).- El estimado sin sesgo y eficiente de la varianza verdadera , es decir la varianza poblacional es :
2 = ( N / N - 1 ) s2
(6.33 - 6.35 )2 + ( 6.37 - 6.35 ) 2 + ( 6.32 - 6.35 ) 2 + ( 6.37 - 6.35 )2 / 5 - 1 = 5.5 x 10 - 4 cm2

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